GEOMETRÍA FRACTAL

La geometria clasica, esta basada en formas como esferas, cilindros, conos, elipses, todas ellas simples, bien conocidas. son formas utiles en la arquitectura humana, pero no tanto en la naturaleza. Benoit mandelbrot dice “ las nubes no sos esferas, las montañas no son conos, las costas no son circulares y las cortezas no son lisas”. La geometría fractal describe sinuosas curvas, espirales y filamentos que se retuercen sobre sí mismos dando elaboradas figuras cuyos detalles se pierden en el infinito. Estas figuras poseen a veces una remarcable invariancia de simplificación bajo los cambios de la magnificación, propiedad que caracteriza a los fractales.
De hecho podemos entender la geometría fractal como la geometría de la naturaleza, del caos y del orden, con formas y secuencias que son localmente impredecibles, pero globalmente ordenadas, en contraste con la geometría euclídea, que representa objetos creados por el hombre.
Una forma intuitiva de ver lo que es un fractal es porque presenta autosimilitud, esto es: si amplimos o disminuimos la escala tanto como queramos, la estructura será similar y presentará el mismo detalle.

En 1975 mandelbrot invento la palabra fractal para designar la estructura que siguen ciertas formas naturales. fractal viene del latin fractus que significa fragmentado o roto, y tambien irregular.

Por ejemplo:
Las tres imágenes del golfo de cariaco están a diferentes niveles de ampliación (escala).Si quisiéramos medir la longitud del perímetro de la costa considerando diferentes escalas de medición tendríamos lo siguiente: a medida que la escala tiende a cero la longitud del perímetro de la costa tiende a infinito.

Guión Didáctico de Polígonos

¿QUE? Noción de figuras abiertas y cerradas. Polígonos.
¿POR QUE? Usualmente el docente cuando va a definir la noción de polígono la descontextualiza tanto, “es una figura plana encerrada por líneas poligonales”, que el alumno no logra asimilar dicha definición. Sin embargo, este logra memorizarla, muchas veces si se le pregunta que diga si observa polígonos en su salón de clases este no responde satisfactoriamente ya que no ha obtenido un aprendizaje significativo. De ahí la importancia de desarrollar un guión didáctico que permita desarrollar ciertas estrategias, fundamentalmente basada en sus vivencias y entorno, de tal manera que permitan que el alumno logre apropiarse y hacer suyo la definición de polígono. De igual forma es importante, que el estudiante pueda establecer un concepto acorde con su nivel cognocistivo y pueda asimilar que el puede construir un polígono de n lados.*por muy grande que sea n*
¿PARA QUE? Se quiere que el estudiante adquiera competencia sobre clasificación de objetos o figuras de acuerdo a un determinado criterio. Diferenciar figuras planas que son polígonos y las que no son, es decir, estimular la percepción clara. Detectar los diferentes tipos de polígonos de acuerdo a las propiedades que las descriminan. Estructurar el concepto de figuras planas.Fomentar el trabajo en grupo.
¿CON QUE? Se le entregará a cada grupo (3 a 5 alumnos) un conjunto de 12 fichas rectangulares con distintas figuras y ellos deben clasificarlas de acuerdo a algún criterio que ellos establezcan.
¿CUANDO? Para la primera etapa de educación básica. De acuerdo a lo señalado por el programa.

¿DONDE? En el aula de clases o en la biblioteca, estando los alumnos organizados en grupos (de 3 a 5 integrantes), alrededor de una mesa o sentados en el suelo.
¿COMO?

* En primer lugar, motive a sus alumnos para que le digan a través de ejemplos de la vida diaria, que significa para ellos la noción de cerrado y abierto.
*Se organizan los alumnos en grupos de 3 a 5 integrantes entregandose a cada grupo un total de 12 figuras planas y pedirle que las agrupen de acuerdo a su criterio de abierta y cerrada. Ver primera figura:

* Una vez discutida y aclarada la agrupación de las figuras abiertas y cerradas realizada por los grupos. * Proporcionele una cuerda a cada grupo y digales que formen algunas figuras abiertas y cerradas.
* Pedirle que realicen una nueva agrupación de las figuras cerradas, mediante algún criterio que ellos consideren conveniente. Promueva la discusión y la participación grupal. Por ejemplo, ver segunda figura: si algún grupo o varios de ellos las clasificaron de esa forma. Pidales que definan este criterio de agrupación , con sus propias palabras.

* A continuación presentele la definición de polígonos dada por diferentes textos escolares y preguntele cual de esas definiciones les agrada más. ¿Por que?. Preguntale cual de los dos grupos esta formado por polígonos. ¿Por qué?.

Por ejemplo:
Es una porción del plano encerrada por una Línea Poligonal
Es toda figura plana limitada por una poligonal cerrada
Es una figura encerrada por segmentos de rectas

* Suministrele unas palillos de mondadientes y pidales que representen algunos polígonos. Preguntele cuantos palillos como mínimos hacen falta para representar un polígono. Digales que asocien cada palillo con un lado del polígono y pidales que representen polígonos de diferentes lados. Expliquele que de acuerdo al número de lados estos se clasifican en: triángulo, cuadrilateros, pentágonos, etc. Realice la actividad de la cuerda pidiéndoles que formen polígonos.

* Preguntenle si ellos pueden construir un polígono de 25 y 50 lados. ¿y como lo harían?.

* Por último, hagan un comentario de la actividad realizada,verifique si los niños lograron captar lo que es una figura abierta, cerrada, polígono y tipos de polígonos. Verifique si ellos pueden asociar esta definición con figuras y objetos de su salón de clases o biblioteca.

GUION DIDACTICO REALIZADO POR:
LIC. DANIEL RUIZ

Interpretación Gráfica de la Borrosidad

Una función de pertenencia podría ser, por ejemplo, la mostrada en el primer gráfico, esta función asigna el grado de pertenencia g(x) = 1 a los objetos que pertenecen nítidamente “al conjunto de los objetos pequeños” y el valor g(x) = 0 a los objetos que nítidamente no pertenecen a dicho conjunto. A los objetos que pertenecen borrosamente “al conjunto de los objetos pequeños” la función les asigna un grado de pertenencia g(x) entre o y 1 sin considerar ambos extremos.

El segundo gráfico muestra como un conjunto borroso nos permite definir una noción como “el/ella es un poco joven”. Tal como se observa, para edades menores o iguales a 20 años se dice que g(x) =1, es decir, se tiene un conjunto nítido el/ella es un poco joven. Para edades entre (20, 30) es un conjunto borroso, por ejemplo para x = 27 años la función de pertenencia al conjunto el/ella es un poco joven es de 0,32. Ahora para edades mayores o iguales a 30 la función de pertenencia al conjunto el/ella es un poco joven es g(x)=0 (conjunto nítido).
En definitiva, la matemática borrosa nos permite extender el estudio de procesos difusos con fronteras no definidas. Por ejemplo, la matemática borrosa es útil para modelar situaciones ambiguas como la determinar cuando una persona es calva o no lo es. La paradoja del barbero que tanto puso en aprietos a la matemática sustentada en la lógica aristotélica con respecto a uno de sus postulados el tercero excluido ( un elemento pertenece a un conjunto o en caso contrario no pertenece) abrió el camino muchos años después al surgimiento de la matemática borrosa.

PARADOJA DEL BARBERO

En un pueblo hay un solo barbero que afeita únicamente a las personas que no se afeitan

¿Quién afeita al barbero?

BORROSIDAD

La idea de vaguedad, de la falta de precisión, incluso en el lenguaje científico, ha estado en la mente de los académicos desde hace varios años atrás. La referencia más antigua que se ha conseguido es la de Max Black publicado en 1937. Por ejemplo, hay situaciones que no pueden ser resueltas mediante la lógica aristotélica o bivalente (verdadero o falso), debido a la imprecisión, información incompleta con que usualmente el científico experimentador se consigue, y esto es precisamente lo que vivenciamos en nuestra realidad. Esto significa que la rigidez y marco ideal de que se vale la lógica bivalente para ver el mundo bajo dos matices blanco y negro no nos permite visualizar las diferentes tonalidades o niveles de gris del mundo circundante.
En el campo matemático el asunto estuvo planteado sin tratamiento formal hasta cuando nace la teoría de conjuntos y se introdujo el concepto de partición. A partir de entonces se agudizó la necesidad de darle tratamiento semejante a la situación en la que, por limitaciones impuestas por el lenguaje o la medición, no es viable la clasificación nítida, es decir, no es aplicable el concepto de partición por no poderse establecer la correspondencia unívoca de los elementos a los conjuntos. Se paso así a una etapa en la que eran de esperar intentos de desarrollo teórico tendentes a dar paso a la clasificación no nítida, como es el caso de la propuesta de la medición borrosa presentada por Zadeh en 1965. Esta apertura fue más extensa de lo esperado produciéndose la proposición de modelación laxa, la cual obedece a la necesidad de medir lo no medible y de valerse de información incontrolada, incompleta y desordenada. Este científico de origen iraní, inició el desarrollo teórico y la aplicación de la borrosidad al proponer una concepción diferente de la relación de pertenencia de los elementos a los conjuntos y establecer en consecuencia la noción de conjunto borroso. Lo antes dicho hace pensar que la proposición de Zadeh no estaba encaminada a descartar los conjuntos nítidos, sino a proporcionar una manera adicional de considerar la noción del conjunto que posibilitará aplicaciones que se necesitaban.

En 1978 Zadeh introduce el concepto de probabilidad borrosa, prestando atención a una incertidumbre que no consideraba probabilistica sino posibilista. Ya que el sostiene según un enunciado “ que la información borrosa induce probabilidades borrosas”.
La borrosidad describe la ambiguedad del evento; la aleatoridad describe la incertidumbre de la ocurrencia del mismo.
Por otra parte, la enseñanza de la borrosidad nos permite mostrar: a) que las matemáticas están vivas y en constante desarrollo, b) una teoría matemática que es aplicada a la resolución de muchos problemas prácticos, c) un caso de teoría matemática que nos ayuda a interpretar ciertos fenómenos, d) la influencia de fuerzas sociales en la producción de nuevos conocimientos matemáticos. Mosquera (2002). Este autor sostiene que la mayoría de la población incluso educadores creen que las matemáticas son cosa del pasado y que están petrificadas. La importancia de la teoría de conjuntos borrosos no se limita a sus aplicaciones tecnológicas. Hay otro aspecto de mucha importancia para la educación; se trata de un cambio de paradigma o de manera de pensar. Por ejemplo, en el caso del estudio de la cognición. La adopción de una perspectiva borrosa significa abandonar la lógica aristotélica como guia normativa para el movimiento del pensamiento. Esto significa desechar la idea de que las personas necesariamente tienen que establecer o basar sus razonamientos en dicotomías.
También es importante destacar el impacto que ha ocasionado la aparición de la matemática borrosa para la humanidad, en tal sentido se pueden señalar algunos aspectos:
- Desde el punto de vista de la robótica, se podría lograr una comunicación más fluida y directa entre la maquina y el hombre. ( inteligencia artificial )
- Desde el punto de vista económico su aplicación permite ahorrar energía y desplazar tecnología obsoleta en diferentes áreas como electrodomésticos, medicina, etc.
- Ha permitido revitalizar la matemática, en el sentido de la construcción de nuevos conocimientos y cambio de paradigma.
- Una teoría que le permite a muchos investigadores de las ciencias sociales encausar sus investigaciones, sin las limitaciones que por su propia naturaleza la lógica binaria no le permitía llevar a buen término.
- Permite la humanización de la tecnología. Tal es el caso del frenado suave e imperceptible de los trenes con esta tecnología, el aterrizaje de aviones.
- Permite y facilita la interdisciplinariedad

Tal como ha sido reseñado anteriormente, la matemática borrosa tiene muchas aplicaciones, a continuación se procederá a ejemplificar algunas usos de la tecnología Fuzzy o borrosa: en el caso de las lavadoras Fuzzy muchas veces se les dice lavadoras inteligentes, estas trabajan en función de la cantidad de ropa, es decir, de acuerdo a la cantidad de ropa y de detergente requerida realiza su llenado ocasionando por ende un ahorro. Igualmente los equipos de aires acondicionados fuzzy trabajan en función de la temperatura ambiente ocasionando un ahorro de energía eléctrica. Al trabajar con la lógica difusa se esta imitando la vida real. También esta se usa en varios campos, incluyendo análisis financiero lineal y no lineal, reconocimiento de patrones, sistemas expertos, redes neurales, etc.
Por otra parte, es importante realizar una reflexión acerca de la importancia de que se enseñe en educación media y superior la matemática borrosa, independientemente del potencial de sus aplicaciones esta el hecho de las perspectiva de un nuevo paradigma, de conceptos matemáticos visto bajo lógica borrosa. Esto nos permitiría una visión más sistemática e integradora. La importancia fundamental de la matemática borrosa es que nos permite modelar situaciones vagas, inciertas e impredecibles imposible de visualizar con el pensamiento dicotómico. Incluso esta podría de alguna manera hacer nos entender que a veces los conjuntos nítidos o “las posiciones extremas” no son las más adecuadas, por ejemplo, la lógica bivalente del presidente Bush de catalogar a lo que apoyan su política internacional de buenos y los que no lo apoyan de malos.
En definitiva, Zadeh resume el pensamiento borroso al formular el principio de incompactibilidad: “en general, la complejidad y la precisión guardan una relación inversa la una a la otra, en el sentido de que a medida que la complejidad aumenta, la posibilidad de analizarlo en términos precisos disminuye”.

MATEMÁTICA Y REALIDAD

Este blog tiene el propósito de dar a conocer trabajos e información relacionada con la didáctica de la matemática bajo dos enfoques. Descontextualizada (Matemática Formal) y Contextualizada, es decir vinculada a la sociedad y a la realidad cotidiana, con especial énfasis en éste último aspecto. Se presentarán trabajos de investigación sobre opinión pública, problemas sociales, ambientales, realizados por el autor del blog Daniel Ruiz y algunos colaboradores, siempre en vinculación con la estadística social.